题目

若不等式+++…+>对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论. 答案：解法一：当n=1时，+>，即> ，∴a<26.又a∈N*，∴a的最大值应为25.下面用数学归纳法证明++…+>.（1）n=1时，已证.（2）假设n=k时，++…+>成立.当n=k+1时，有++…++++=（++…+）+（++－）>+［+－］.∵+=>，∴+ －>0.∴++…+>也成立.由（1）（2）可知，对一切n∈N*，都有++…+> .∴a的最大值为25.解法二：令f（n）=++…+.∵f（n）－f（n+1）=－－－=－=<0，∴f（n）<f（n+1），即f（n）是增数列.∴f（n）≥f（1）=++=.又f（n）>恒成立，∴> ，即a<26.∴正整数a的最大值为25.点评：解法二使用了函数思想，利用了函数的单调性，使得证明更简洁.

查看本题答案和解析