题目

已知单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),且f(3)=log23,定义域为R.(Ⅰ)求证f(x)为奇函数；(Ⅱ)若f(x)满足对任意实数x，f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0恒成立，求k的取值范围. 答案：分析：（Ⅰ）为了证明f(x)为奇函数，只须证明对x∈R，f(-x)=-f(x)成立.解：观察f(x+y)=f(x)+f(y),令x=0,有f(0)=0，再令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x).    即f(x)+f(-x)=0.f(-x)=-f(x).    故f(x)为奇函数.（Ⅱ）由于f(x)是奇函数，且f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0恒成立.∴f(k·3x)＜-f(3x-9x-2),    即f(k·3x)＜f(9x-3x+2).①   为了确定k的取值范围，需要进一步判断f(x)是单调递增或单调递减，    由于f(3)=log23＞0,而f(0)=0,那么f(3)＞f(0),因为f(x)是单调函数，故此函数为单调增函数，则由①得，9x-3x+2＞k·3x,    即(3x)2-(k+1)·3x+2＞0恒成立.②    由于3x＞0，使②成立的条件为k+1≤0，或其判断别式Δ＜0，    当k+1≤0，则k≤-1;    当Δ＜0，即(k+1)2-4·2＜0,    解得-1-2＜k＜-1+2.    综上所述，k＜-1+2.

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