题目

如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5. (1)求证：AA1⊥平面ABC； (2)求二面角A1­BC1­B1的余弦值； 答案：(1)证明　在正方形AA1C1C中，A1A⊥AC. 又平面ABC⊥平面AA1C1C，且 平面ABC∩平面AA1C1C＝AC， ∴AA1⊥平面ABC. (2)解：由(1)知AA1⊥AC，AA1⊥AB，由题意知， 在△ABC中，AC＝4，AB＝3，BC＝5， ∴BC2＝AC2＋AB2， ∴AB⊥AC. ∴以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系A－xyz. A1(0,0,4)，B(0,3,0)，C1(4,0,4)，B1(0,3,4)，于是 ＝(4,0,0)，＝(0,3，－4)，＝(4，－3,0)，＝(0,0,4)． 设平面A1BC1的法向量n1＝(x1，y1，z1)， 平面B1BC1的法向量n2＝(x2，y2，z2)． 22. 解：　(1)∵2a＝4，∴a＝2，       又M在椭圆上， ∴＋＝1，解得b2＝2，∴所求椭圆方程＋＝1. (2)由题意知kMO＝，∴kAB＝－. 设直线AB的方程为y＝－x＋m， 联立方程组 消去y，得13x2－4mx＋2m2－4＝0， Δ＝(－4m)2－4×13×(2m2－4)＝8(12m2－13m2＋26)＞0， ∴m2＜26，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝， 则O·O＝x1x2＋y1y2＝7x1x2－m(x1＋x2)＋m2 ＝∈. ∴O·O的取值范围是.

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