题目

求证：正四面体的二面角与正八面体的二面角互为补角. 答案：证明:设正四面体S—ABC和正八面体AC的棱长都为a，正四面体的二面角为α，正八面体的二面角为2β. 在正四面体S—ABC中(图甲)，作SG⊥底面ABC于G，连结AG并延长交BC于D，连结SD.∴G为正△ABC的中心.∴AD⊥BD.∴SD⊥BC(三垂线定理).∴∠SDG为二面角的平面角，即∠SDG=α.又AD=SD=,∴SG=a.∴tanα=(0°＜α＜90°).                                  甲                                           乙在正八面体AC中(图乙)，连结EF交截面ABCD于O，取AB的中点G，连结EG、FG、OG，则EG⊥AB，FG⊥AB，∴∠EGF为二面角的平面角，由对称性知，∠EGO=∠OGF=β.又EG=a,GO=a,∴EO=a.∴tan∠EGO=tanβ= (0°＜β＜90°).∴tan2β=.∴tan(α+2β)=.∵0°＜α+2β＜270°,∴α+2β=180°.∴正四面体和正八面体的二面角互补.

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