题目

已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，且过点（1，）．抛物线C2：x2=﹣2py（p＞0）的焦点坐标为（0，﹣）． （Ⅰ）求椭圆C1和抛物线C2的方程； （Ⅱ）若点M是直线l：2x﹣4y+3=0上的动点，过点M作抛物线C2的两条切线，切点分别为A，B，直线AB交椭圆C1于P，Q两点． （i）求证直线AB过定点，并求出该定点坐标； （ii）当△OPQ的面积取最大值时，求直线AB的方程． 答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题． 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析：（I）由已知条件，设椭圆方程为，把点代入能求出椭圆C1的方程．抛物线C2中，由，能求出抛物线C2的方程． （II）（i）设点M（x0， y0），且满足2x0﹣4y0+3=0，点A（x1，y1），B（x2，y2），由于切线MA，MB同过点M，有，由此能证明直线AB过定点． （ii）设P（x3，y3），Q（x4，y4），联立方程，得，由此利用根的判别式和韦达定理能求出直线方程． 解答：  解：（I）由于椭圆C1中，， 则设其方程为， 由于点在椭圆上，故代入得λ=1． 故椭圆C1的方程为． 抛物线C2中， ∵抛物线C2：x2=﹣2py（p＞0）的焦点坐标为（0，﹣）， ∴，故p=1， 从而椭圆C1的方程为，抛物线C2的方程为x2=﹣2y． （II）（i）证明：设点M（x0，y0），且满足2x0﹣4y0+3=0， 点A（x1，y1），B（x2，y2），则切线MA的斜率为﹣x1， 从而MA的方程为y=﹣x1（x﹣x1）+y1， 考虑到，则切线MA的方程为x1x+y+y1=0， 同理切线MB的方程为x2x+y+y2=0， 由于切线MA，MB同过点M， 从而有， 由此点A（x1，y1），B（x2，y2）在直线x0x+y+y0=0上． 又点M在直线2x﹣4y+3=0上，则2x0﹣4y0+3=0， 故直线AB的方程为（4y0﹣3）x+2y+2y0=0， 即y0（4x+2）+（2y﹣3x）=0， ∴直线AB过定点． （ii）解：设P（x3，y3），Q（x4，y4）， 考虑到直线AB的方程为x0x+y+y0=0， 则联立方程， 消去y并简化得， 从而，，， 从而， 点O到PQ的距离， 从而 =， 当且仅当，即， 又由于2x0﹣4y0+3=0， 从而消去x0得， 即，解得， 从而或， ∴所求的直线为x+2y+2=0或x﹣14y﹣10=0． 点评：本题考查椭圆和抛物线方程的求法，考查直线过定点的证明，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．  

查看本题答案和解析