题目

如图，BC是⊙O的直径，CE是⊙O的弦，过点E作⊙O的切线，交CB的延长线于点G，过点B作BF⊥GE于点F，交CE的延长线于点A． （1）求证：∠ABG＝2∠C； （2）若GF＝3，GB＝6，求⊙O的半径． 答案：【分析】（1）连接OE，根据切线的性质得到OE⊥EG，推出OE∥AB，得到∠A＝∠OEC，根据等腰三角形的性质得到∠OEC＝∠C，求得∠A＝∠C，根据三角形的外角的性质即可得到结论； （2）根据勾股定理得到BF＝＝3，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接OE， ∵EG是⊙O的切线， ∴OE⊥EG， ∵BF⊥GE， ∴OE∥AB， ∴∠A＝∠OEC， ∵OE＝OC， ∴∠OEC＝∠C， ∴∠A＝∠C， ∵∠ABG＝∠A+∠C， ∴∠ABG＝2∠C； （2）解：∵BF⊥GE， ∴∠BFG＝90°， ∵GF＝3，GB＝6， ∴BF＝＝3， ∵BF∥OE， ∴△BGF∽△OGE， ∴＝， ∴＝， ∴OE＝6， ∴⊙O的半径为6． 【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

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