题目

（上海卷理20）设P(a,b)（b≠0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点(1,b)的直线，记Q是直线l与抛物线x2＝2py（p≠0）的异于原点的交点 ⑴已知a＝1，b＝2，p＝2，求点Q的坐标. ⑵已知点P(a,b)（ab≠0）在椭圆+y2＝1上，p＝，求证：点Q落在双曲线4x2－4y2＝1上. ⑶已知动点P(a,b)满足ab≠0，p＝，若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由. 答案：【解析】（1）当时， 解方程组     得  即点的坐标为    ……3分 （2）【证明】由方程组    得    即点的坐标为 …5分 时椭圆上的点，即    ， 因此点落在双曲线上                        ……8分 （3）设所在的抛物线方程为                ……10分 将代入方程，得，即   ……12分 当时，，此时点的轨迹落在抛物线上； 当时，  ，此时点的轨迹落在圆上； 当时，，此时点的轨迹落在椭圆上； 当时，此时点的轨迹落在双曲线上； ……16分

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