题目

如图，已知矩形ABCD，PA⊥平面AC于点A，M、N分别是AB、PC的中点.（1）求证:MN⊥AB;（2）若平面PDC与平面ABCD所成的二面角为θ,能否确定θ,使得直线MN是异面直线AB与PC的公垂线？若能确定，求出θ的值；若不能确定，请说明理由. 答案：方法1：（1）证明：如图，取CD的中点K，连结MK、NK.∵M、K分别为AB、CD的中点，ABCD为矩形，∴AMKD也是矩形，因此AB⊥MK.∵PA⊥平面AC，CD平面AC，∴CD⊥PA.又∵CD⊥AD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.又PD平面PAD，∴CD⊥PD.∵N、K分别是PC、CD的中点，∴NK∥PD.∴CD⊥NK.∴AB⊥NK.又AB⊥MK,∴AB⊥面MKN.又MN平面MKN，故AB⊥MN.(2)解:由（1）得MN⊥AB,故MN为AB和PC的公垂线当且仅当MN⊥PC.∵PN=CN，∴MN⊥PCPM=MC①∵MA=MB,∴①PA=BC②∵BC=AD,∴②PA=AD.又∵PD⊥CD,AD⊥CD,∴∠ADP为二面角A—CD—P的平面角.因此PA=AD△PAD为等腰直角三角形∠ADP=,故存在θ=使MN为AB与PC的公垂线.方法2：建立如图所示的直角坐标系，设AB=a,AD=b,PA=c,则A（0，0，0）、B（a,0,0）、C（a,b,0）、P(0,0,c)（1）证明：∵M为AB的中点，N为PC的中点，∴M（,0,0）,N(,,).∴=(0,,).又∵=(a,0,0),∴·=0,即MN⊥AB.(2)解:由（1）得MN⊥AB,故MN为AB和PC的公垂线当且仅当MN⊥PC.MN⊥PC·=0.①∵=(0, ,),=(a,b-c),∴①0+-=0b=c,也就是PA=AD.∵PA⊥平面AC，CD平面AC，∴CD⊥PA.又∵CD⊥AD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.又PD平面PAD，∴CD⊥PD.又CD⊥AD,∴∠ADP为二面角A—CD—P的平面角.因此PA=AD△PAD为等腰直角三角形∠ADP=,故存在θ=使MN为AB与PC的公垂线.

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