题目

如图,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,∠PAD=90°,且PA=AD=2,E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点. (1)求证:PB∥平面EFG;(2)求异面直线EG与BD所成的角;(3)在线段CD上是否存在一点Q,使得点A到平面EFQ的距离为.若存在,求出CQ的值;若不存在,请说明理由.  答案：解法一:(1)证明:取AB中点H,连结GH,HE,∵E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点,∴GH∥AD∥EF.∴E、F、G、H四点共面. 又H为AB中点,∴EH∥PB. 又EH面EFG,PB平面EFG,∴PB∥面EFG. (2)取BC的中点M,连结GM、AM、EM,则GM∥BD,∴∠EGM(或其补角)就是异面直线EG与BD所成的角. 在Rt△MAE中,EM==,同理EG=,又GM=BD=,∴在Rt△MGE中,cos∠EGM=. 故异面直线EG与BD所成的角为arccos. (3)假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件.过点Q作QR⊥AB于R,连结RE,则QR∥AD.∵四边形ABCD是正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,∴AD⊥AB,AD⊥PA.又AB∩PA=A,∴AD⊥平面PAB. 又∵E、F分别是PA、PD中点,∴EF∥AD.∴EF⊥平面PAB.又EF面EFQ,∴面EFQ⊥平面PAB.过A作AT⊥ER于T,则AT⊥面EFQ,∴AT就是点A到平面EFQ的距离. 设CQ=x(0≤x≤2),则BR=CQ=x,AR=2-x,AE=1,在Rt△EAR中,AT===.解得x=.故存在点Q,当CQ=时,点A到平面EFQ的距离为. 解法二:建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).(1)证明:∵=(2,0,-2),=(0,-1,0),=(1,1,-1), 设=s+t,即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1),解得s=t=2.∴=2+2.又∵与不共线,∴、与共面. ∵平面EFG,∴PB∥平面EFG. (2)∵=(1,2,-1),=(-2,2,0), ∴cos〈,〉=.故异面直线EG与BD所成的角为arccos. (3)假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件.令CQ=m(0≤m≤2),则DQ=2-m,∴点Q的坐标为(2-m,2,0).∴=(2-m,2,-1). 而=(0,1,0),设平面EFQ的法向量为n=(x,y,z),则∴令x=1,则n=(1,0,2-m). 又=(0,0,1),∴点A到平面EFQ的距离d==, 即(2-m)2=.∴m=或m=＞2不合题意,舍去.故存在点Q,当CQ=时,点A到平面EFQ的距离为.

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