题目

已知函数. (1)求证: 在(1,+∞)上单调递增. (2)若≥-在x∈(0,1]内恒成立,求实数t的取值范围. 答案： (1)函数的定义域为(0,+∞),f ′(x)=2x-=, 由f ′(x)>0,得x>1,由f ′(x)<0,得0<x<1, 所以,函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增. (2)由f(x)≥2tx-对x∈(0,1]恒成立,得2t≤x+-. 令h(x)=x+-,则h′(x)=, 因为x∈(0,1],所以x4-3<0,-2x2<0, 2x2lnx<0,x4>0, 所以h′(x)<0, 所以h(x)在(0,1)上为减函数. 所以当x=1时,h(x)=x+-有最小值2,得2t≤2, 所以t≤1,故t的取值范围是(-∞,1].

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