题目

答案：解析、解法一:(1)证明:取PC中点M,连结ME、MF,则MF∥CD,MF=CD．又AE∥CD,AE=CD,    ∴AE∥MF且AE=MF.∴四边形AFME是平行四边形.∴AF∥EM.∵AF平面PCE,   ∴AF∥平面PCE.        4分(2)解:∵PA⊥平面AC,CD⊥AD,∴CD⊥PD．  ∴∠PDA是二面角P―CD―B的平面角,即∠PDA=45°.∴△PAD是等腰直角三角形.∴AF⊥PD．又AF⊥CD,∴AF⊥平面PCD,而EM∥AF,∴EM⊥平面PCD．    又EM平面PEC,∴面PEC⊥面PCD．在平面PCD内过F作FH⊥PC于H,则FH就是点F到平面PCE的距离.由已知,PD=2,PF=,PC=,△PFH∽△PCD,∴=.     ∴FH=.                                           8分(3)解:∵PA⊥平面ABCD,∴AC是PC在底面上的射影.   ∴∠PCA就是PC与底面所成的角.由(2)知PA=2,PC=,   ∴sin∠PCA==,即PC与底面所成的角是arcsin.                                  12分解法二：(1)证明:取PC中点M,连结EM,∵=+=+=+(+)=++=+ +=,∴AF∥EM.又EM平面PEC,AF平面PEC,∴AF∥平面PEC．                     4分(2)解:以A为坐标原点,分别以、、所在直线为x、y、z轴建立坐标系.∵PA⊥平面AC,CD⊥AD,    ∴CD⊥PD．∴∠PDA是二面角P―CD―B的平面角,即∠PDA=45°.∴A(0,0,0)、P(0,0,2)、D(0,2,0)、F(0,1,1)、E(,0,0)、C(3,2,0).设平面PCE的法向量为n=(x,y,z),则n⊥,n⊥,而=(－,0,2),=(,2,0),∴－x+2z=0,且x+2y=0.     解得y=－x   ,z=x.取x=4,得n=(4,－3,3).又=(0,1,－1),故点F到平面PCE的距离为d===.            8分(3)解:   ∵PA⊥平面ABCD,   ∴AC是PC在底面上的射影.∴∠PCA就是PC与底面所成的角.=(－3,－2,0),=(－3,－2,2).∴cos∠PCA==,    sin∠PCA==,即PC与底面所成的角是arccos.              12分 

查看本题答案和解析