题目

如图①，已知等腰梯形ABCD的周长为48，面积为S，AB∥CD，∠ADC=60°，设AB=3x．（1）用x表示AD和CD；（2）用x表示S，并求S的最大值；（3）如图②，当S取最大值时，等腰梯形ABCD的四个顶点都在⊙O上，点E和点F分别是AB和CD的中点，求⊙O的半径R的值．答案：解：（1）作AH⊥CD于H，BG⊥CD于G，如图①，则四边形AHGB为矩形， ∴HG=AB=3x， ∵四边形ABCD为等腰梯形， ∴AD=BC，DH=CG，在Rt△ADH中，设DH=t， ∵∠ADC=60°， ∴∠DAH=30°， ∴AD=2t，AH=t， ∴BC=2t，CG=t， ∵等腰梯形ABCD的周长为48， ∴3x+2t+t+3x+t+2t=48，解得t=8﹣x， ∴AD=2（8﹣x）=18﹣2x， CD=8﹣x+3x+8﹣x=16+x；（2）S=（AB+CD）•AH =（3x+16+x）•（8﹣x） =﹣2x2+8x+64， ∵S=﹣2（x﹣2）2+72， ∴当x=2时，S有最大值72；（3）连结OA、OD，如图②，当x=2时，AB=6，CD=16+2=18，等腰梯形的高为×（8﹣2）=6，则AE=3，DF=9， ∵点E和点F分别是AB和CD的中点， ∴直线EF为等腰梯形ABCD的对称轴， ∴EF垂直平分AB和CD，EF为等腰梯形ABCD的高，即EF=6， ∴等腰梯形ABCD的外接圆的圆心O在EF上，设OE=a，则OF=6﹣a，在Rt△AOE中， ∵OE2+AE2=OA2， ∴a2+32=R2，在Rt△ODF中， ∵OF2+DF2=OD2， ∴（6﹣a）2+92=R2， ∴a2+32=（6﹣a）2+92，解得a=5， ∴R2=（5）2+32=84， ∴R=2．

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