题目

以P(1,8)为中点作双曲线y2-4x2=4的一条弦AB,求直线AB的方程. 答案：解法一:当过P点的直线和x轴垂直时,直线被双曲线截得的弦的中点不是P点.当直线AB与x轴不垂直时,设其斜率为k,则直线AB的方程为y-8=k(x-1).由得(k2-4)x2+2k(8-k)x+(8-k)2-4=0(k2-4≠0).(*)设A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1、x2是方程(*)的两个不等实根,∴Δ=4k2(8-k)2-4(k2-4)［(8-k)2-4］>0.①∵弦AB的中点是P(1,8),∴由中点坐标公式与韦达定理,得- =1.②由①②得k=.∴直线AB的方程为y-8=(x-1),即x-2y+15=0.解法二:设A(x1,y1)、B(x2,y2),则y12-4x12=4,y22-4x22=4,∴(y1+y2)(y1-y2)=4(x1+x2)(x1-x2).∵线段AB的中点是P(1,8),∴x1+x2=2,y1+y2=16.∴16(y1-y2)=4×2(x1-x2).∴直线AB的斜率为=.∴直线AB的方程为y-8=(x-1),即x-2y+15=0.温馨提示:解法一和解法二都是解决弦的中点问题的常用方法.解法一是由直线的方程与双曲线的方程联立,消去y(或x)得关于x(或y)的二次方程,运用中点坐标公式和韦达定理求得k.解法二是设出弦的端点坐标代入曲线方程得到两个等式,并把两个等式相减,结合中点公式求得斜率,这种方法习惯称作“点差法”.

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