题目

已知函数 令. （Ⅰ）当时，求函数的单调递增区间； （Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值； （Ⅲ）若，正实数满足，证明： 答案：解：⑴      …………2分 由得又所以．所以的单增区间为. ………4分 （2）令 所以． 当时，因为，所以所以在上是递增函数， 又因为 所以关于的不等式不能恒成立．                 ……………6分 当时，． 令得，所以当时，当时，． 因此函数在是增函数，在是减函数． 故函数的最大值为 ………8分 令因为 又因为在上是减函数，所以当时，． 所以整数的最小值为2．                                         ……………10分 （3）当时， 由即 从而                       …………13分 令则由得， 可知在区间（0，1）上单调递减，在区间上单调递增。所以 所以即成立.           

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