题目

如图，已知抛物线y=﹣ax2+2ax+3a（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）请直接写出A、B两点的坐标． （2）当a=，设直线AC与抛物线的对称轴交于点P，请求出△ABP的面积． 答案：【考点】抛物线与x轴的交点． 【专题】计算题． 【分析】（1）利用抛物线与x轴的交点问题，通过解方程﹣ax2+2ax+3a=0即可得到A（3，0），B（﹣1，0）； （2）当a=时，y=﹣x2+2x+3，先确定C点坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x+3，接着确定P点坐标，然后根据三角形面积公式求解． 【解答】解：（1）令y=0，﹣ax2+2ax+3a=0， 整理得x2﹣2x﹣3=0， 解得x1=3，x2=﹣1， 所以A（3，0），B（﹣1，0）； （2）当a=时，y=﹣x2+2x+3， 当x=0时，y=3，则C（0，3）， 设直线AC的解析式为y=kx+b， 把A（3，0），C（0，3）代入得，解得， 所以直线AC的解析式为y=﹣x+3， 而抛物线的对称轴为直线x=1， 当x=1时，y=﹣x+3=2，则P（1，2）， 所以△APB的面积=×（3+1）×2=4． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． 　

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