题目

如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2，如图(2)所示折叠，折痕EF∥DC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF. (1)求证：CF⊥平面MDF； (2)求三棱锥M-CDE的体积.           　图(1)             　图(2) (例1) 答案：【解答】(1)因为PD⊥平面ABCD，PD平面PCD， 所以平面PCD⊥平面ABCD， 而平面PCD∩平面ABCD=CD， MD平面ABCD，MD⊥CD， 所以MD⊥平面PCD. 因为CF平面PCD，所以CF⊥MD， 又CF⊥MF，MD，MF平面MDF，且MD∩MF=M， 所以CF⊥平面MDF. (2)由(1)知CF⊥平面MDF， DF平面MDF，所以CF⊥DF， 易知∠PCD=60°，所以∠CDF=30°， 从而CF=CD=， 因为EF∥DC， 所以=，即=， 所以DE=，所以PE=， 所以S△CDE=CD×DE=， MD====， 所以=S△CDE×MD=××=. 【精要点评】本题以折叠图形为考查形式，考查直线与平面垂直的判定以及利用等体积法计算三棱锥的体积，属于中档题.图形折叠问题主要先弄清量的变与不变的问题，以及两个图形之间的关系等.

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