题目

（本小题共14分） 已知函数 （Ⅰ）若，求函数的极值和单调区间； (II) 若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围. 答案：（共14分） 解：（I）因为 ，                  …………………2分 当，  ，                                令，得 ，                                                 …………………3分 又的定义域为， ，随的变化情况如下表： 0 极小值   所以时，的极小值为1 .                       …………………5分 的单调递增区间为，单调递减区间为；    …………………6分 （II）解法一： 因为 ，且，    令，得到 ，   若在区间上存在一点，使得成立，   其充要条件是在区间上的最小值小于0即可.   …………………7分   （1）当，即时，对成立， 所以，在区间上单调递减， 故在区间上的最小值为， 由，得，即     …………………9分  （2）当，即时，    ① 若，则对成立，所以在区间上单调递减，      所以，在区间上的最小值为， 显然，在区间上的最小值小于0不成立    …………………11分    ② 若，即时，则有 极小值       所以在区间上的最小值为， 由， 得 ，解得，即.             …………………13分 综上，由(1)（2）可知：符合题意.   …………………14分   解法二：若在区间上存在一点，使得成立，  即， 因为, 所以，只需                 …………………7分 令，只要在区间上的最小值小于0即可 因为， 令，得                       …………………9分 （1）当时： 极大值    因为时，，而，    只要，得，即        …………………11分   （2）当时： 极小值     所以，当 时，极小值即最小值为， 由， 得 ，即.                …………………13分       综上，由(1)（2）可知，有 .      …………………14分                        

查看本题答案和解析