题目

已知数列各项均不相等，将数列从小到大重新排序后相应的项数构成的新数列称为数列的排序数列，例如：数列满足，则排序数列为2，3，1. （Ⅰ）写出数列2，4，3，1的排序数列； （Ⅱ）求证：数列的排序数列为等差数列的充要条件是数列为单调数列； （Ⅲ）若数列的排序数列仍为，那么是否一定存在一项，证明你的结论. 答案：解：（Ⅰ）排序数列为4,1,3,2.- （Ⅱ）证明：充分性：  当数列单调增时，∵…, ∴排序数列为1,2,3，…，n. ∴排序数列为等差数列. 当数列单调减时，∵…, ∴排序数列为n,n-1,n-2，…，1 . ∴排序数列为等差数列. 综上，数列为单调数列时，排序数列为等差数列. 必要性： ∵排序数列为等差数列 ∴排序数列为1,2,3，…，n或n,n-1,n-2，…，1. ∴…或… ∴数列为单调数列. （Ⅲ）∵数列的排序数列仍为 ∴数列是1,2,3，…，n的某一个排序， 假设不存在一项，即， 则在各项从小到大排列后排在第位 ∴排序数列中，∴n为偶数12分. ∴当n为奇数时，一定存在一项, 当n为偶数时，不一定存在一项.

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