题目

设a、b、c≥0，且a+b+c=3，求证：a2+b2+c2+abc≥. 答案：思路分析：先运用对称性确定符号，设a≤b≤c，则a≤1＜，再使用基本不等式可以避开讨论，作差比较作适当放缩.证明：不妨设a≤b≤c，则a≤1＜.∴a-＜0.又∵()2≥bc，即()2≥bc，也即bc(a-)≥(3-a)2(a-).∴左边=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)+abc=9-2a(b+c)+bc(a-)≥9-2a(3-a)+(3-a)2(a-)=9+(3-a)［(3-a)(a-)-a］=9-(3-a)［a2+a+4］=9-(-a3+2a2-a+12)=+a(a2-2a+1)=+a(a-1)2≥,∴a2+b2+c2+abc≥.

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