题目

直棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD＝∠ADC=90°,AB=2AD=2CD=2.(1)求证:AC⊥平面BB1C1C;(2)在A1B1上是否存在一点P,使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论. 答案：证明:(1)直棱柱ABCD—A1B1C1D1中,BB1⊥平面ABCD,∴BB1⊥AC.又∵∠BAD＝∠ADC＝90°,AB=2AD=2CD=2,∴AC=2,∠CAB＝45°.∴BC=2.∴BC⊥AC. 又BB1∩BC=B,BB1,BC平面BB1C1C,∴AC⊥平面BB1C1C.7分(2)存在点P,P为A1B1的中点. 证明:由P为A1B1的中点,有PB1∥AB,且PB1＝AB. 又∵DC∥AB,DC＝AB,∴DC∥PB1,且DC＝PB1.∴四边形DCPB1为平行四边形,从而CB1∥DP. 又CB1面ACB1,DP面ACB1,∴DP∥面ACB1.同理,DP∥面BCB1.

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