题目

如图， Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E为BC边的中点，连接DE. （1）求证：DE与⊙O 相切. （2）若tanC=，DE=2，求AD的长．答案：（1）证明：连接BD、OD， ∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=∠BDC=90°， ∵E为BC边的中点，∴DE=EC，∴∠1=∠C，∵OA=OD，∴∠2=∠A， ∵∠ABC=90°，∴∠A+∠C =90°，∴∠1+∠2 =90°， ∴∠ODE =90°，∴OD⊥DE于点D， ∵以AB为直径的⊙O交AC于点D，∴D是半径的外端， ∴DE与⊙O 相切. (2) ∵∠BDC=90°，E为BC边的中点，∴ ，∵DE=2，∴BC=4，在Rt△ABC中，tanC=， ∴AB=BC·=2，在Rt△ABC中， AC===6，又∵△ABD∽△ACB，∴，即， ∴AD=

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