题目

设函数，其中为正整数. （1）判断函数的单调性，并就的情形证明你的结论； （2）证明：； （3）对于任意给定的正整数，求函数的最大值和最小值. 答案：（1）在上均为单调递增的函数.               …… 2分    对于函数，设 ，则    ，    ，    函数在上单调递增.               …… 4分 （2） 原式左边                                     .                                           …… 6分     又原式右边.                              .               …… 8分 （3）当时，函数在上单调递增，      的最大值为，最小值为.     当时，， 函数的最大、最小值均为1.     当时，函数在上为单调递增.      的最大值为，最小值为.     当时，函数在上单调递减，      的最大值为，最小值为.                  …… 11分     下面讨论正整数的情形：     当为奇数时，对任意且      ，     以及 ，      ，从而 .      在上为单调递增，则     的最大值为，最小值为.                    …… 14分     当为偶数时，一方面有 .     另一方面，由于对任意正整数，有     ，     .  函数的最大值为，最小值为.          综上所述，当为奇数时，函数的最大值为，最小值为.               当为偶数时，函数的最大值为，最小值为. …… 18分 解析:同答案

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