题目

已知a+b+c=0,求证:ab+bc+ca≤0. 答案：证法一:(综合法)∵a+b+c=0,∴（a+b+c）2=0.    展开得ab+bc+ca=-,    ∴ab+bc+ca≤0.证法二:(分析法)要证ab+bc+ca≤0,    ∵a+b+c=0，故只需证ab+bc+ca≤(a+b+c)2，    即证a2+b2+c2+ab+bc+ca≥0，    亦即证［（a+b）2＋（b＋c）2＋（c＋a）2］≥0．    而这是显然的，由于以上相应各步均可逆，∴原不等式成立.证法三:∵a+b+c=0，∴-c=a+b.    ∴ab+bc+ca=ab+(b+a)c=ab-(a+b)2=-a2-b2-ab=-［（a＋）2＋］≤0．    ∴ab+bc+ca≤0.

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