题目

已知双曲线-=1(a＞0,b＞0)的左、右两个焦点分别为F1、F2，P为双曲线左支上的一点，P到左准线的距离为d. (1)若双曲线的一条渐近线是y=x,问是否存在点P使d,|PF1|,|PF2|成等比数列？若存在，求出P点坐标，若不存在，说明理由；(2)在已知双曲线的左支上使d,|PF1|,|PF2|成等比数列的点P存在时，求离心率e的取值范围. 答案：解：(1)法一：由y=x是渐近线，得=, c2=a2+b2=4a2,∴e=2,    设P点的坐标为(x0,y0),由双曲线的第二定义，得|PF1|=ed=2d,|PF2|=e(-x0),d=--x0,∴e2d2=d·e(-x0),    化简得2(--x0)=-x0    解得x0=-＜-a,∴点P存在.法二：同解法一得,|PF1|=ed=2d,∴|PF2|=2a+|PF1|=2a+2d,    又∵|PF1|2=d·|PF2|，∴有4d2=d·(2a+2d)解得d=a,    又∵dmin=--(-a)=a-=a-=,d=a＞,∴存在点P，使d,|PF1|,|PF2|成等比数列.(2)法一：由(1)得d=--x0,|PF1|2=d·|PF2|∴有e2d2=d·e(-x0),∴ed=-x0    即e(--x0)=(-x0),解得x0=≤-a,∴1＜e≤1+.法二：由==e,可得|PF2|=e|PF1|,    又|PF2|-|PF1|=2a,∴|PF1|=,|PF2|=.∵|PF1|+|PF2|≥|F1F2|,而|F1F2|=2c=2ea,∴≥2ea,    又∵a＞0,e＞1,∴e2-2e-1≤0，解得1＜e≤1+.法三：由(1)得e2d2=d(2a+ed).    解得d=≥dmin=-+a,∴有e2-2e-1≤0，解得1＜e≤1+.

查看本题答案和解析