题目

已知函数y＝f（x）的图象是自原点出发的一条折线. 当n≤y≤n＋1（n＝0，1，2，…)时，该图象是斜率为bn的线段(其中正常数b≠1），设数列｛xn｝由f（xn）＝n（n＝1，2，…）定义  (Ⅰ)求x1、x2和xn的表达式； (Ⅱ)计算xn；  (Ⅲ)求f（x）的表达式，并写出其定义域. 答案：(Ⅰ)解：依题意f（0）＝0，又由f（x1）＝1，当0≤y≤1时，函数y＝f（x）的图象是斜率为b0＝1的线段，故由＝1得x1＝1．  又由f（x2）＝2，当1≤y≤2时，函数y＝f（x）的图象是斜率为b的线段， 故由＝b， 即x2－x1＝       得x2＝1＋．  记x0＝0．由函数y＝f（x）图象中第n段线段的斜率为bn－1，故得＝bn－1． 又f（xn）＝n，f（xn－1）＝n－1；∴xn－xn－1＝()n－1，n＝1，2，…．由此知数列｛xn－xn－1｝为等比数列，其首项为1，公比为． 因b≠1，得xn＝＝1＋＋…＋＝，即xn＝ (Ⅱ)解：由(Ⅰ)知xn＝当b＞1时，= 当0＜b＜1时，n→∞，xn也趋向于无穷大，limxn不存在 （Ⅲ）解：由（Ⅰ）知：当0≤y≤1时，y＝x，即当0≤x≤1时，f（x）＝x； 当n≤y≤n＋1即xn≤xn＋1，由(Ⅰ)可知，f（x）＝n＋bn（x－xn）(n＝1，2，3，…）由(Ⅱ）知：当b＞1时，y＝f（x）的定义域为［0，). 当0＜b＜1时，y＝f（x）的定义域为［0，＋∞）．图1-30

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