题目

对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(a－x), (1)求证y=f(x)的图像关于直线x=a对称； (2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x+2)=f(2－x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和。 答案：(1) 证明略(2) f(x)=0的四根之和为8 解析:  设(x0,y0)是函数y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0), ∵=a,　∴点(x0,y0)与(2a－x0,y0)关于直线x=a对称， 又f(a+x)=f(a－x), ∴f(2a－x0)=f［a+(a－x0)］=f［a－(a－x0)］=f(x0)=y0, ∴(2a－x0,y0)也在函数的图像上， 故y=f(x)的图像关于直线x=a对称. (2)解：由f(2+x)=f(2－x)得y=f(x)的图像关于直线x=2对称， 若x0是f(x)=0的根，则4－x0也是f(x)=0的根， 若x1是f(x)=0的根，则4－x1也是f(x)=0的根， ∴x0+(4－x0)+ x1+(4－x1)=8 即f(x)=0的四根之和为8.

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