题目

（21）已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三个顶点. （Ⅰ）写出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G，F，H三点共线；（Ⅱ）当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹. 答案：（21）本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力. （Ⅰ）解：由△OBC三顶点坐标O（0，0），B（1，0），C（b，c）（c≠0），可求得重心G（，），外心F（，），垂心H（b，）.当b=时，G，F，H三点的横坐标均为，故三点共线；当b≠时，设G、H所在直线的斜率为kGH，F，G所在直线的斜率为kFG. 因为kGH==，    kFG==， 所以kGH=kFG，G，F，H三点共线综上可得，G，F，H三点共线. （Ⅱ）解：若FH∥OB，由kFH==0，得3（b2－b）+c2=0（c≠0，b≠）， 配方得3（b－）2+c2=，即即 =1 （x≠，y≠0）.因此，顶点C的轨迹是中心在（，0），长半轴长为，短半轴长为，且短轴在x轴上的椭圆，除去（0，0），（1，0），（，），（，－）四点.

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