题目

已知f（x）=lgx，g（x）=x+，h（x）=f[g（x）]． （1）证明h（x）既是R上的奇函数又是R上的增函数； （2）若（x+）（y+）=，求证：x+2y=0． 答案：【考点】对数函数图象与性质的综合应用；函数奇偶性的判断；根式与分数指数幂的互化及其化简运算． 【分析】（1）先求出，容易得到h（﹣x）=﹣h（x），即得到h（x）为奇函数，可以求导数h′（x）＞0，从而得出h（x）为R上的增函数； （2）由便可得到，两边取以10为底的对数，根据h（x）的解析式可得到h（x）+h（2y）=0，而由h（x）为奇函数且为增函数便可得到x+2y=0． 【解答】证明：（1）； 恒成立； ∴h（x）的定义域为R，且==﹣h（x）； ∴h（x）为R上的奇函数； 又=； ∴h（x）为R上的增函数； （2）=； ∴； ∴==h（x）+h（2y）=0； ∴h（x）=﹣h（2y）； ∵h（x）为R上的奇函数且是增函数； ∴h（x）=h（﹣2y）； ∴x=﹣2y； ∴x+2y=0． 　

查看本题答案和解析