题目

设F1、F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点． (1)若P是第一象限内该椭圆上的一点，且＝－，求点P的坐标； (2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围． 答案：解：(1)a＝2，b＝1，c＝.∴F1(－，0)，F2(，0)． 设P(x，y)(x>0，y>0)．则＝(－－x，－y)(－x，－y)＝x2＋y2－3＝－，又＋y2＝1， 联立，解得 (2)显然x＝0不满足题设条件．可设l的方程为y＝kx＋2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 联立⇒x2＋4(kx＋2)2＝4 ⇒(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0 ∴x1x2＝，x1＋x2＝－ 由Δ＝(16k)2－4·(1＋4k2)·12>0 16k2－3(1＋4k2)>0,4k2－3>0，得k2>.① 又∠AOB为锐角⇔cos∠AOB>0⇔·>0， ∴·＝x1x2＋y1y2>0 又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4 ∴x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4 综合①②可知<k2<4，∴k的取值范围是.

查看本题答案和解析