题目

已知：如图28－Y－14，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连接PD. (1)求证：PD是⊙O的切线； (2)求证：PD2＝PB·PA； (3)若PD＝4，tan∠CDB＝，求直径AB的长．答案：解：(1)证明：连接OD，OC. ∵PC是⊙O的切线， ∴OC⊥PC， ∴∠OCP＝90°. ∵直径AB⊥CD， ∴O，P是CD垂直平分线上的点， ∴OD＝OC，PD＝PC. 又∵OP＝OP， ∴△ODP≌△OCP， ∴∠ODP＝∠OCP＝90°. 又∵OD是⊙O的半径， ∴PD是⊙O的切线． (2)证明：∵∠ODP＝90°， ∴∠PDB＋∠ODB＝90°. ∵AB是直径，∴∠ADB＝90°， ∴∠ADO＋∠ODB＝90°， ∴∠PDB＝∠ADO＝∠A. 又∵∠DPB＝∠APD， ∴△DPB∽△APD， ∴PD∶PA＝PB∶PD， ∴PD2＝PB·PA. (3)∵∠A＋∠ABD＝90°＝∠CDB＋∠ABD， ∴∠A＝∠CDB. 又∵tan∠CDB＝， ∴tanA＝， ∴AD＝2BD. ∵△DPB∽△APD， ∴PD∶PA＝PB∶PD＝BD∶DA＝1∶ 2. 又∵PD＝4， ∴PA＝8，PB＝2， ∴AB＝6.

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