题目

已知△OFQ的面积为2，且·=m.（1）设＜m＜4，求向量与的夹角θ的正切值的取值范围；（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q，如右图所示，||=c，m=(-1)c2，当||取得最小值时，求此双曲线的方程. 答案：解：(1)∵||·||sin(π-θ)=2,||·||cosθ=m.＜m＜4,∴1＜tanθ＜4.(2)设所求的双曲线方程为=1(a＞0,b＞0).Q(x1,y1),则=(x1-c,y1).∴S△OFQ=||·|y1|=2,∴y1=±.又由·=m，即(c,0)·（x1-c,y1）=(-1)c2,得x1=c.∴||=≥.当且仅当c=4时，||最小，这时Q的坐标为（，）或（，-）.∴∴故所求的双曲线方程为=1.

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