题目

如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8． （1）求此抛物线的解析式； （2）如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连接PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R． ①求证：PB=PS； ②判断△SBR的形状； ③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似？若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由． 答案：    （2）①过点B作BN⊥PS，垂足为N，可以设P的坐标是（a，a2+1），根据勾股定理就可以用a表示出PB=PS的长，由此可以证明； ②判断△SBR的形状，根据①同理可知BQ=QR，根据等边对等角就可以证明∠SBR=90度，则△SBR为直角三角形； ③若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似，有△PSM∽△MRQ和△PSM∽△QRM两种情况，根据相似三角形的对应边的比相等就可以求出． 解答： 解：（1）方法一： ∵B点坐标为（0.2）， ∴OB=2， ∵矩形CDEF面积为8， ∴CF=4． ∴C点坐标为（﹣2，2）．F点坐标为（2，2）． 设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c． 其过三点A（0，1），C（﹣2.2），F（2，2）． 得， 解这个方程组，得a=，b=0，c=1， ∴此抛物线的解析式为y=x2+1．（3分） 方法二： ∵B点坐标为（0.2）， ∴OB=2， ∵矩形CDEF面积为8， ∴CF=4． ∴C点坐标为（﹣2，2）， 根据题意可设抛物线解析式为y=ax2+c． 其过点A（0，1）和C（﹣2.2） 解这个方程组，得a=，c=1 此抛物线解析式为y=x2+1．   （2）①证明：如图（2）过点B作BN⊥PS，垂足为N． ∵P点在抛物线y=x2+1上．可设P点坐标为（a，a2+1）． ∴PS=a2+1，OB=NS=2，BN=﹣a． ∴PN=PS﹣NS=， 在Rt△PNB中． PB2=PN2+BN2=（a2﹣1）2+a2=（a2+1）2 ∴PB=PS=．（6分） ②根据①同理可知BQ=QR． ∴∠1=∠2， 又∵∠1=∠3， ∴∠2=∠3， 同理∠SBP=∠5（7分） ∴2∠5+2∠3=180° ∴∠5+∠3=90° ∴∠SBR=90度． ∴△SBR为直角三角形．（8分） ③方法一：如图（3）作QN⊥PS， 设PS=b，QR=c， ∵由①知PS=PB=b．QR=QB=c，PQ=b+c．PN=b﹣c． ∴QN2=SR2=（b+c）2﹣（b﹣c）2 ∴．（9分） 假设存在点M．且MS=x，则MR=． 若使△PSM∽△MRQ， 则有． 即x2﹣2x+bc=0 ∴． ∴SR=2 ∴M为SR的中点．（11分） 若使△PSM∽△QRM， 则有． ∴． ∴． ∴M点即为原点O． 综上所述，当点M为SR的中点时．△PSM∽△MRQ； 当点M为原点时，△PSM∽△MRQ．（13分） 方法二： 若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似， ∵∠PSM=∠MRQ=90°， ∴有△PSM∽△MRQ和△PSM∽△QRM两种情况． 当△PSM∽△MRQ时．∠SPM=∠RMQ，∠SMP=∠RQM． 由直角三角形两锐角互余性质．知∠PMS+∠QMR=90度． ∴∠PMQ=90度．（9分） 取PQ中点为T．连接MT．则MT=PQ=（QR+PS）．（10分） ∴MN为直角梯形SRQP的中位线， ∴点M为SR的中点（11分） ∴=1 当△PSM∽△QRM时， ∴QB=BP ∵PS∥OB∥QR ∴点M为原点O． 综上所述，当点M为SR的中点时，△PSM∽△MRQ； 当点M为原点时，△PSM∽△QRM．（13分）

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