题目

已知函数y=f(x)是定义在区间［-，］上的偶函数，且x∈［0，］时，f（x）=-x2-x+5.（1）求函数f(x)的解析式； （2）若矩形ABCD的顶点A，B在函数y=f(x)的图象上，顶点C，D在x轴上，求矩形ABCD面积的最大值. 答案：（1）f(x)=（2）当t=1时，矩形ABCD的面积取得极大值6，且此极大值也是S（t）在t∈（0，］上的最大值，从而当t=1时，矩形ABCD的面积取得最大值6. 解析:（1）当x∈［-，0］时，-x∈［0，］. ∴f(-x)=-(-x)2-(-x)+5=-x2+x+5. 又∵f(x)是偶函数， ∴f（x）=f(-x)=-x2+x+5. ∴f(x)= （2）由题意，不妨设A点在第一象限，坐标为（t,-t2-t+5）,其中t∈（0，］. 由图象对称性可知B点坐标为（-t，-t2-t+5）.则S(t)=S矩形ABCD=2t（-t2-t+5）=-2t3-2t2+10t. =-6t2-4t+10.由=0，得t1=-（舍去），t2=1.当0＜t＜1时， ＞0;t＞1时, ＜0. ∴S(t)在（0，1］上单调递增，在［1，］上单调递减.∴当t=1时，矩形ABCD的面积取得极大值6，且此极大值也是S（t）在t∈（0，］上的最大值，从而当t=1时，矩形ABCD的面积取得最大值6.

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