题目

如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC∶CA＝4∶3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点 (1)求证：AC·CD＝PC·BC； (2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长； (3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S． 答案：解：(1)∵AB为直径，∴∠ACB＝90°．又∵PC⊥CD，∴∠PCD＝90°． 而∠CAB＝∠CPD，∴△ABC∽△PCD．∴． ∴AC·CD＝PC·BC；   (2)当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E． ∵P是AB中点，∴∠PCB＝45°，CE＝BE＝BC＝2． 又∠CAB＝∠CPB，∴tan∠CPB＝tan∠CAB＝．∴PE＝＝＝． 从而PC＝PE＋EC＝．由(1)得CD＝PC＝ (3)当点P在AB上运动时，S△PCD＝PC·CD．由(1)可知，CD＝PC． ∴S△PCD＝PC2．故PC最大时，S△PCD取得最大值； 而PC为直径时最大，∴S△PCD的最大值S＝×52＝．

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