题目

已知：一元二次方程x2+kx+k﹣=0． （1）求证：不论k为何实数时，此方程总有两个实数根； （2）设k＜0，当二次函数y=x2+kx+k﹣的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为4时，求此二次函数的解析式； （3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为C，过y轴上一点M（0，m）作y轴的垂线l，当m为何值时，直线l与△ABC的外接圆有公共点？ 答案：考点： 二次函数综合题． 分析： （1）根据一元二次方程的根的判别式△=b2﹣4ac的符号来判定已知方程的根的情况； （2）利用根与系数的关系（|xA﹣xB|==4）列出关于k的方程，通过解方程来求k的值； （3）根据直线与圆的位置的位置关系确定m的取值范围． 解答： （1）证明：∵△=k2﹣4××（k﹣）=k2﹣2k+1=（k﹣1）2≥0， ∴关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣=0，不论k为何实数时，此方程总有两个实数根； （2）令y=0，则x2+kx+k﹣=0． ∵xA+xB=﹣2k，xA•xB=2k﹣1， ∴|xA﹣xB|===2|k﹣1|=4，即|k﹣1|=2， 解得k=3（不合题意，舍去），或k=﹣1． ∴此二次函数的解析式是y=x2﹣x﹣； （3）由（2）知，抛物线的解析式是y=x2﹣x﹣． 易求A（﹣1，0），B（3，0），C（1，﹣2）， ∴AB=4，AC=2，BC=2． 显然AC2+BC2=AB2，得△ABC是等腰直角三角形．AB为斜边， ∴外接圆的直径为AB=4， ∴﹣2≤m≤2． 点评： 本题综合考查了二次函数综合题，其中涉及到的知识点有：抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式以及直线与圆的关系，范围较广，难度较大．

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