题目

已知抛物线y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y=﹣x+b与抛物线的另一个交点为D． （1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式； （2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标； （3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？ 答案：【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）根据二次函数的交点式确定点A、B的坐标，求出直线的解析式，求出点D的坐标，求出抛物线的解析式； （2）作PH⊥x轴于H，设点P的坐标为（m，n），分△BPA∽△ABC和△PBA∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可； （3）作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，根据正切的定义求出Q的运动时间t=BE+EF时，t最小即可． 【解答】解：（1）∵y=a（x+3）（x﹣1）， ∴点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0）， ∵直线y=﹣x+b经过点A， ∴b=﹣3， ∴y=﹣x﹣3， 当x=2时，y=﹣5， 则点D的坐标为（2，﹣5）， ∵点D在抛物线上， ∴a（2+3）（2﹣1）=﹣5， 解得，a=﹣， 则抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3； （2）作PH⊥x轴于H， 设点P的坐标为（m，n）， 当△BPA∽△ABC时，∠BAC=∠PBA， ∴tan∠BAC=tan∠PBA，即=， ∴=，即n=﹣a（m﹣1）， ∴， 解得，m1=﹣4，m2=1（不合题意，舍去）， 当m=﹣4时，n=5a， ∵△BPA∽△ABC， ∴=，即AB2=AC•PB， ∴42=•， 解得，a1=（不合题意，舍去），a2=﹣， 则n=5a=﹣， ∴点P的坐标为（﹣4，﹣）； 当△PBA∽△ABC时，∠CBA=∠PBA， ∴tan∠CBA=tan∠PBA，即=， ∴=，即n=﹣3a（m﹣1）， ∴， 解得，m1=﹣6，m2=1（不合题意，舍去）， 当m=﹣6时，n=21a， ∵△PBA∽△ABC， ∴=，即AB2=BC•PB， ∴42=•， 解得，a1=（不合题意，舍去），a2=﹣， 则点P的坐标为（﹣6，﹣）， 综上所述，符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣）和（﹣6，﹣）； （3）作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F， 则tan∠DAN===， ∴∠DAN=60°， ∴∠EDF=60°， ∴DE==EF， ∴Q的运动时间t=+=BE+EF， ∴当BE和EF共线时，t最小， 则BE⊥DM，y=﹣4． 　

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