题目

.在四棱锥的底面是菱形， 底面，， 分别是的中点， . （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； （III）在边上是否存在点，使与所成角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 答案：【详解】(Ⅰ)由菱形的性质可得：，结合三角形中位线的性质可知：，故， 底面，底面，故， 且，故平面， 平面， (Ⅱ)由题意结合菱形的性质易知，，， 以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则：， 设平面的一个法向量为, 则：， 据此可得平面的一个法向量为， 而， 设直线与平面所成角为， 则. (Ⅲ)由题意可得：，假设满足题意的点存在， 设，， 据此可得：，即：, 从而点F的坐标为， 据此可得：,， 结合题意有：，解得：. 故点F为中点时满足题意.

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