题目

已知抛物线C1：y2=2x与椭圆C2： +=1在第一象限交于点A，直线y=x+m与椭圆C2交于B、D两点，且A，B，D三点两两互不重合． （1）求m的取值范围； （2）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？ （3）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值． 答案：【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）联立方程中先求出A点坐标，联立方程组，由此利用根的判别式能求出m的取值范围． （2）利用椭圆弦长公式和点到直线的距离公式能求出当m=±2时，△ABD的面积最大，最大值为． （3）设直线AB、AD的斜率分别为：kAB、kAD，推导出kAB+kAD=0，由此能证明直线AB、AD的斜率之和为定值0． 【解答】解：（1）∵抛物线C1：y2=2x与椭圆C2： +=1在第一象限交于点A， ∴由，得A点坐标为， 联立方程组， ∵A、B、D三点两两互不重合， ∴△=﹣8m2+64＞0，∴，且m≠0， ∴m的取值范围是． （2）设B（x1，y1），D（x2，y2），① ∵|BD|=|x1﹣x2|=， 设d为点A到直线BD的距离，则． ∴，当且仅当m=±2时取等号． ∵±2∈（﹣2，0）∪（0，2）， ∴当m=±2时，△ABD的面积最大，最大值为． （3）证明：设直线AB、AD的斜率分别为：kAB、kAD， 则， 将①代入上式整理得kAB+kAD=0， ∴直线AB、AD的斜率之和为定值0．

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