题目

如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F． （1）证明：△PCE是等腰三角形； （2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间的数量关系； （3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式．x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值． 答案：考点： 等腰三角形的判定与性质；二次函数的最值；解直角三角形． 分析： （1）根据等边对等角可得∠A=∠C，然后根据两直线平行，同位角相等求出∠CPE=∠A，从而得到∠CPE=∠C，即可得证； （2）根据等腰三角形三线合一的性质求出CM=CP，然后求出EM，同理求出FN、BH的长，再根据结果整理可得EM+FN=BH； （3）分别求出EM、FN、BH，然后根据S△PCE，S△APF，S△ABC，再根据S=S△ABC﹣S△PCE﹣S△APF，整理即可得到S与x的关系式，然后利用二次函数的最值问题解答． 解答： （1）证明：∵AB=BC， ∴∠A=∠C， ∵PE∥AB， ∴∠CPE=∠A， ∴∠CPE=∠C， ∴△PCE是等腰三角形； （2）解：∵△PCE是等腰三角形，EM⊥CP， ∴CM=CP=，tanC=tanA=k， ∴EM=CM•tanC=•k=， 同理：FN=AN•tanA=•k=4k﹣， 由于BH=AH•tanA=×8•k=4k， 而EM+FN=+4k﹣=4k， ∴EM+FN=BH； （3）解：当k=4时，EM=2x，FN=16﹣2x，BH=16， 所以，S△PCE=x•2x=x2，S△APF=（8﹣x）•（16﹣2x）=（8﹣x）2，S△ABC=×8×16=64， S=S△ABC﹣S△PCE﹣S△APF， =64﹣x2﹣（8﹣x）2， =﹣2x2+16x， 配方得，S=﹣2（x﹣4）2+32， 所以，当x=4时，S有最大值32． 点评： 本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，锐角三角函数，二次函数的最值问题，表示出各三角形的高线是解题的关键，也是本题的难点．

查看本题答案和解析