题目

  （14分）如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA＝AD＝a．    （1）求证：MN∥平面PAD；    （2）求证：平面PMC⊥平面PCD． 答案：证明：如答图所示，⑴设PD的中点为E，连结AE、NE， 由N为PD的中点知ENDC， 又ABCD是矩形，∴DCAB，∴ENAB 又M是AB的中点，∴ENAN， ∴AMNE是平行四边形 ∴MN∥AE，而AE平面PAD，NM平面PAD ∴MN∥平面PAD 证明：⑵∵PA＝AD，∴AE⊥PD， 又∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD， ∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥AE， ∵PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD， ∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD， 又MN平面PMC， ∴平面PMC⊥平面PCD.

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