题目

根据下列条件求圆的方程： （1）经过坐标原点和点P（1,1），并且圆心在直线2x+3y+1=0上； （2）已知一圆过P（4,-2）、Q(-1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4,求圆的方程. 答案：（1）（x-4）2+(y+3)2=25.（2）x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0. 解析:（1）显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为： ,即x+y-1=0. 解方程组得圆心C的坐标为（4，-3）. 又圆的半径r=|OC|=5, 所以所求圆的方程为（x-4）2+(y+3)2=25. （2）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0                                                                  ① 将P、Q点的坐标分别代入①得： 令x=0，由①得y2+Ey+F=0                                                                                  ④ 由已知|y1-y2|=4，其中y1、y2是方程④的两根， 所以（y1-y2）2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48                                                                     ⑤ 解②、③、⑤组成的方程组得 D=-2，E=0，F=-12或D=-10，E=-8，F=4， 故所求圆的方程为 x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.

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