题目

设x1,x2(x1≠x2)是函数f(x)=ax3+bx2-a2x(a＞0)的两个极值点.(1)若x1=-1，x2=2,求f(x)的解析式；(2)若|x1|+|x2|=，求b的最大值；(3)若x1＜x＜x2，且x2=a，函数g(x)=f′(x)-a(x-x1)，求证：|g(x)|≤a(3a+2)2. 答案：答案：f′(x)=3ax2+2bx-a2(a＞0). (1)解：∵x1=-1,x2=2是函数f(x)的两个极值点，∴f′(-1)=0,f′(2)=0.                     ∴3a-2b-a2=0,12a+4b-a2=0，解得a=6,b=-9.                                         ∴f(x)=6x3-9x2-36x.4分(2)解：∵x1,x2是f(x)的两个极值点，∴f′(x1)=f′(x2)=0.∴x1,x2是方程3ax2+2bx-a2=0的两根.∵Δ=4b2+12a3，∴Δ＞0对一切a＞0,b∈R恒成立,x1+x2=，x1·x2=.∵a＞0,∴x1·x2＜0.∴|x1|+|x2|=|x1-x2|=.                            由|x1|+|x2|=,得，∴b2=3a2(6-a).∵b2≥0，∴3a2(6-a)≥0，∴0＜a≤6.令h(a)=3a2(6-a)，则h′(a)=-9a2+36a.0＜a＜4时，h′(a)＞0,∴h(a)在(0，4)内是增函数；4＜a＜6时，h′(a)＜0,∴h(a)在(4，6)内是减函数.                                   ∴a=4时，h(a)有极大值为96，∴h(a)在(0,6］上的最大值是96，∴b的最大值是.                                                          (3)证法一：∵x1,x2是方程f′(x)=0的两根，∴f′(x)=3a(x-x1)(x-x2)，                                                        ∴|g(x)|=3a|x-x1|·|x-x2|≤3a()2.∵x1＜x＜x2，∴x-x1＞0,x-x2＜0，∴|g(x)|≤［(x-x1)-(x-x2)］2=(x2-x1+)2.∵x1·x2=，x2=a,∴x1=.∴|g(x)|≤·(a+)2=a(3a+2)2.                                                               证法二：∵x1,x2是方程f′(x)=0的两根，∴f′(x)=3a(x-x1)(x-x2)，10分∵x1·x2=，x2=a,∴x1=.∴|g(x)|=|3a(x+)(x-a)-a(x+)|=|a(x+)［3(x-a)-1］|.∵x1＜x＜x2，∴|g(x)|=a(x+)(-3x+3a+1).=-3a(x+)(x)=-3a(x)2++a2+a≤+a2+.

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