题目

某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量P万件满足（其中0≤x≤a，a为正常数）．现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P万件还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为万元/万件． （1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数； （2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大． 答案：【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用． 【专题】应用题；导数的综合应用． 【分析】（1）根据题意售价为万元/万件，销售量为P，成本为（10+2P）+x万元，利用利润=销售额﹣成本，即可列出函数关系式； （2）对a进行分类讨论，当a≥1时，利用基本不等式即可求得最值，当a＜1时，利用导数确定函数的单调性，从而求得最值，即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意知，该产品售价为万元，销售量为P，成本为（10+2P）+x万元， ∴， ∵（其中0≤x≤a，a为正常数）， ∴y=2×﹣10﹣2×（3﹣）﹣x=16﹣x﹣， ∴（0≤x≤a）， ∴该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数为（0≤x≤a）； （2）由（1）可知，（0≤x≤a）， ∴， 当且仅当时取等号， ∵0≤x≤a， ①当a≥1时，x=1时，y取得最大值为13， ∴促销费用投入1万元时，厂家的利润最大； ②当a＜1时，， ∴，解得﹣3＜x＜1， ∴在（﹣3，1）上单调递增， ∴在[0，a]上单调递增， ∴在x=a时，函数有最大值， ∴促销费用投入a万元时，厂家的利润最大． 综合①②可得，当a≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大， 当a＜1时，促销费用投入a万元时，厂家的利润最大． 【点评】本题主要考查函数模型的选择与应用．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．在运用数学方法求解最值时，选用了基本不等式和导数的方法求解．属于中档题．

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