题目

设{an}是等差数列,a1=1,a3=2,设Pn=a1+a3+a9+…+ak(k=3n-1,n∈N*),Qn=a2+a6+a10+…+al(l=4n-2,n∈N*),问Pn与Qn哪一个大?证明你的结论.       答案：解析:由已知,得an=,       ∴Pn=       =(30+31+…+3n-1)+.       ∵a4n-2==2n-,       ∴Qn=2(1+2+…+n)-        =n(n+1)-.       当n=1时,P1=1,Q1=,∴P1<Q1;       当n=2时,P2=3,Q2=5,∴P2<Q2;       当n=3时,P3=8,Q3=,∴P3<Q3;       当n=4时,P4=22,Q4=18,∴P4>Q4;       当n=5时,P5=63,Q5=,∴P5>Q5.       猜想:当1≤n≤3时,Pn<Qn;当n≥4时,Pn>Qn.       证明:①当n=1,2,3时,已验证.       ②假设n=k(k≥4)时,Pk>Qk,       即,       得3k>4k2+1.可得3k+1>12k2+3,       即.       ∴.       ∵6k2+k+2-［2(k+1)2+(k+1)］       =4k2-4k-1>0(k≥4),       ∴,       即当n=k+1时,Pk+1>Qk+1.       综合①②,得1≤n≤3时,Pn<Qn;       n≥4时,Pn>Qn.

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