题目

如图，等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP； ④S△ABC=S四边形AOCP，其中正确的有（　　） A．②③ B．①②④     C．③④ D．①②③④ 　 答案：D【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质． 【分析】①连接OB，根据垂直平分线性质即可求得OB=OC=OP，即可解题； ②根据周角等于360°和三角形内角和为180°即可求得∠POC=2∠ABD=60°，即可解题； ③AB上找到Q点使得AQ=OA，易证△BQO≌△PAO，可得PA=BQ，即可解题； ④作CH⊥CD，可证△CDO≌△CHP和RT△ABD≌RT△ACH，根据全等三角形面积相等即可解题． 【解答】解：如图， ①连接OB， ∵AB=AC，BD=CD， ∴AD是BC垂直平分线， ∴OB=OC=OP， ∴∠APO=∠ABO，∠DBO=∠DCO， ∵∠ABO+∠DBO=30°， ∴∠APO+∠DCO=30°．故①正确； ②∵△OBP中，∠BOP=180°﹣∠OPB﹣∠OBP， △BOC中，∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB， ∴∠POC=360°﹣∠BOP﹣∠BOC=∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB， ∵∠OPB=∠OBP，∠OBC=∠OCB， ∴∠POC=2∠ABD=60°， ∵PO=OC， ∴△OPC是等边三角形，故②正确； ③在AB上找到Q点使得AQ=OA，则△AOQ为等边三角形， 则∠BQO=∠PAO=120°， 在△BQO和△PAO中， ， ∴△BQO≌△PAO（AAS）， ∴PA=BQ， ∵AB=BQ+AQ， ∴AC=AO+AP，故③正确； ④作CH⊥CD， ∵∠HCB=60°，∠PCO=60°， ∴∠PCH=∠OCD， 在△CDO和△CHP中， ， ∴△CDO≌△CHP（AAS）， ∴S△OCD=S△CHP ∴CH=CD， ∵CD=BD， ∴BD=CH， 在RT△ABD和RT△ACH中， ， ∴RT△ABD≌RT△ACH（HL）， ∴S△ABD=S△AHC， ∵四边形OAPC面积=S△OAC+S△AHC+S△CHP，S△ABC=S△AOC+S△ABD+S△OCD ∴四边形OAPC面积=S△ABC．故④正确． 故选 D． 　

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