题目

（本小题满分12分）(注意:在试题卷上作答无效) 在四棱锥中，侧面底面，，底面是直角梯形，，，，. （Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）设为侧棱上一点，，试确定的值，使得二面角为. 答案：解法一：（Ⅰ）平面底面，，所以平面，………1分所以, .……2分如图，以为原点建立空间直角坐标系. 则………3分，，所以，，……………4分又由平面，可得，所以平面.……………6分（Ⅱ）平面的法向量为，…………………………………………7分，，所以， ………………………………………………………………8分设平面的法向量为，，，由，，得所以，，………………………………………………….……9分所以，………………………………………………………….…10分所以，……………………...……11分注意到，得. …………………………….………………12分法二：（Ⅰ）∵面PCD⊥底面ABCD，面PCD∩底面ABCD=CD，PD面PCD，且PD⊥CD ∴PD⊥面ABCD，………1分又BC面ABCD，∴BC⊥PD ①…. .…..……2分取CD中点E，连结BE，则BE⊥CD，且BE=1 在Rt△ABD中，，在Rt△BCE中，BC=. .……………………...……4分 ∵, ∴BC⊥BD ②………………...……5分由①、②且PD∩BD=D ∴BC⊥面PBD. ……….………………………………………….…...……6分（Ⅱ）过Q作QF//BC交PB于F，过F作FG⊥BD于G，连结 GQ. ∵BC⊥面PBD，QF//BC ∴QF⊥面PBD，∴FG为QG在面PBD上的射影，又∵BD⊥FG ∴BD⊥QG ∴∠FGQ为二面角Q-BD-P的平面角；由题意，∠FGQ=45°. …………….…...……8分设PQ=x，易知 ∵FQ//BC，∴ ∵FG//PD∴………………..…...……10分在Rt△FGQ中，∠FGQ=45° ∴FQ=FG，即 ∴……..….........……11分 ∵ ∴ ∴……..…............……12分

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