题目

已知函数f（x）=lnx﹣有两个零点x1、x2．     （1）求k的取值范围；     （2）求证：x1+x2＞． 答案：解：（1）函数f（x）=lnx﹣有2个零点，即函数g（x）=xlnx的图象与直线y=k 有2个交点，g′（x）=lnx+1，令g′（x）＞0，解得：x＞， 令g′（x）＜0，解得：0＜x＜， ∴g（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增， x=是极小值点，g（）=﹣， 又x→0时，g（x）→0，x→+∞时，g（x）→+∞，g（1）=0， g（x）的大致图象如图示：由图象得：﹣＜k＜0. （2）证明：不妨设x1＜x2，由（1）得：0＜x1＜＜x2＜1， 令h（x）=g（x）﹣g（﹣x）=xlnx﹣（﹣x）ln（﹣x）， h′（x）=lnx+1-（﹣x）×（﹣x）-1×(-1)+ ln（﹣x）= lnx+1，令h′（x）=0，x= 当0＜x＜时，h′（x）＜0，h（x）在（0，）递减，h（）=0， ∴h（x1）＞0，即g（x1）＞g（﹣x1），g（x2）＞g（﹣x1），x2，﹣x1∈（，+∞）， g（x）在（，+∞）递增，∴x2＞﹣x1，故x1+x2＞．

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