题目

如图，△AOB，△COD是等腰直角三角形，点D在AB上， （1）求证：△AOC≌△BOD； （2）若AD=3，BD=1，求CD． 答案：(1)见解析；（2） 【分析】 （1）因为∠AOB=∠COD=90°，由等量代换可得∠DOB=∠AOC，又因为△AOB和△COD均为等腰直角三角形，所以OC=OD，OA=OB，则△AOC≌△BOD； （2）由（1）可知△AOC≌△BOD，所以AC=BD=1，∠CAO=∠DBO=45°，由等量代换求得∠CAB=90°，根据勾股定理即可求出CD的长． 【详解】 解：（1）∵△AOB，△COD是等腰直角三角形， ∴OC=OD，OA=OB，∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOC=∠BOD=90°﹣∠AOD， 在△AOC和△BOD中， ∴△AOC≌△BOD（SAS）； （2）∵△AOB，△COD是等腰直角三角形， ∴OC=OD，OA=OB，∠AOB=∠COD=90°， ∴∠B=∠OAB=45°， ∵△AOC≌△BOD，BD=1， ∴AC=BD=1，∠CAO=∠B=45°， ∵∠OAB=45°， ∴∠CAD=45°+45°=90°， 在Rt△CAD中，由勾股定理得：CD=．

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