题目

如图，在□ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，作EF⊥DE，交AD于点F，G为AD边上一点，且AB＝AG，连接GE． （1）如图1，若点G为DF的中点，AF＝2，EG＝4，∠B＝60°，求AC的长； （2）如图2，连接CG交DE于点H，若EG∥CD，∠ACB＝∠DCG，求证：∠ECG＝2∠AEF． 答案：（1）AC＝；（2）见解析． 【解析】 （1）过点C作CH⊥AD，交AD于点H，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到FD和EG的长，即可得到AD的长，然后通过含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理即可求出AC的长； （2）根据平行四边形和∠ACB＝∠DCG得到∠DAC＝∠DCG，再根据全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，等边对等角及平行线的性质证明两角的倍数关系． 【详解】 （1）如图，过点C作CH⊥AD，交AD于点H， ∵EF⊥DE， ∴△FED是直角三角形， 又G是斜边FD的中点， ∴FD＝2EG＝2×4＝8，EG＝FG＝4， ∴AD＝AF+FD＝2+8＝10， ∵AG＝AF+GF， ∴AG＝2+4＝6， ∴CD＝AB＝AG＝6， ∵∠B＝60°， ∴∠HDC＝60°， 在Rt△AHC中，HD＝CD＝3， HC＝HD＝3， ∵AH＝AD﹣HD＝10﹣3＝7， 在Rt△AHC中，AH2+HC2＝AC2， ∴AC＝＝＝2； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD∥BC， ∴∠ACB＝∠DAC， ∵∠ACB＝∠DCG， ∴∠DAC＝∠DCG， ∵AB＝AG， ∴CD＝AG， ∵EG∥CD， ∴∠AGE＝∠ADC，∠DCG＝∠EGC， 在△AEG和△CGD中， ∴△AEG≌△CGD（ASA）， ∴AE＝CG，GE＝DG， ∴∠GED＝∠GDE， ∵EF⊥ED， ∴∠FED＝90°， ∴∠GED+∠FEG＝90°， ∴∠GDE+∠DFE＝90°， ∴∠FEG＝∠DFE， 又∠GCD＝∠EGC＝∠DAC， 在EG上截取GM＝AF，连接CM， 在△AFE和△GMC中， ， ∴△AFE≌△GMC（SAS）， ∴∠AEF＝∠GCM，∠AFE＝∠GMC， ∴∠DFE＝∠EMC， ∵∠FEG＝∠DFE， ∴∠FEG＝∠EMC， ∴FE∥CM， ∴∠AEF＝∠ECM， ∴∠AEF＝∠ECM＝∠GCM， ∴∠ECG＝∠ECM+∠GCM＝2∠AEF． 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质、三角形的外角的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，具有一定的综合性与难度．

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