题目

已知函数f(x)=ax--2lnx，f(1)=0.（1）若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；（2）若函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为0，且an+1=f′-n2+1，已知a1=4，求证：an≥2n+2. 答案：解;（1）f(1)=a-b=0a=b,∴f(x)=ax--2lnx.∴f′(x)=a+-2x.要使函数f(x)在定义域(0,+∞)内为单调函数，则在(0,+∞)内f′(x)恒大于0或恒小于0，当a=0时，f′(x)=-＜0在（0,+∞）内恒成立；当a＞0时，要使f′(x)=a(-)2+a-＞0恒成立，则a-＞0，解得a＞1;当a＜0时,要使f′(x)=a(-)2+a-恒成立，则a-＜0，解得a＜-1.所以a的取值范围为a＞1或a＜-1或a=0.（2）根据题意得f′(1)=0,即a+a-2=0,得a=1,∴f′(x)=(-1)2.于是an+1=f′-n2+1=（an-n）2-n2+1=an2-2nan+1.用数学归纳法证明如下：当n=1时，a1=4≥2×1+2，不等式成立；假设当n=k时，不等式ak≥2k+2成立，即ak-2k≥2也成立，当n=k+1时，ak+1=ak (ak-2k)+1≥(2k+2)×2+1=4k+5＞2(k+1)+2.所以当n=k+1，不等式也成立.综上得对所有n∈N*时，都有an≥2n+2.

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